1. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.

2. Что значит разложить вектор по двум данным векторам?

3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

4. Объясните, как вводится прямоугольная система координат.

5. Что такое координатные векторы?

6. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

7. Что такое координаты вектора? Чему равны координаты координатных векторов? Как связаны между собой координаты равных векторов?

8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

9. Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

10. Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

11. Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.

12. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

13. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

14. Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.

15. Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример.

16. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

17. Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.

18. Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.

19. Что такое угловой коэффициент прямой?

20. Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

21. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку М 0 (x 0 ; y 0) и параллельных осям координат.

22. Напишите уравнения осей координат.

23. Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

24. Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

Дополнительные задачи

988. Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы были коллинеарны:

989. Найдите координаты вектора и его длину, если:

990. Даны векторы

991. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками М 1 (x 1 ; 0) и М 2 (х 2 ; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |х 1 - х 2 |.

992. Докажите, что треугольник АВС, вершины которого имеадт координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним.

993. Докажите, что углы А и С треугольника АВС равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17).

994. Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:

    а) D (1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5);
    б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6).

995. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек М, (-2; 4) и М2 (6; 8).

996. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.

997. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом.

998. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2;-3), 13 (1; 4), С (8; 7), D (5; 0), является ромбом. Найдите его площадь.

999. Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?


    б) х 2 + (у + 7) 2 = 1;


    а) А (-2; 0), B (3; 2 1/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6);

Применение метода координат к решению задач

1006. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

1007. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

1008. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM 2 + СМ 2) - (ВМ 2 + DM 2) имеет одно и то же значение.

1009. Докажите, что медиану АА 1 треугольника АВС можно вычислить по формуле Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

1010. Даны две точки А та В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:

    а) 2AM 2 - ВМ 2 = 2АВ 2 ; б) 2 AM 2 + 2ВМ 2 = 6 АВ 2 .

1000. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:

    а) (х - 1) 2 + (y + 2) 2 = 25;
    б) х 2 + (у + 7) 2 = 1;
    в) х 2 + у 2 + 8х-4у + 40 = 0;
    г) х 2 + у 2 - 2х + 4у - 20 = 0;
    д) х 2 + у 2 - 4х - 2у + 1 =0.

1001. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.

1002. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:

    а) А (1;-4), В (4; 5), С(3;-2);
    б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2).

1003. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-7; 5), В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

1004. Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3х - 1,5y + 1 = 0 и 2х - у - 3 = 0, параллельны.

1005. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если:

    а) А (-2; 0), B(3; 2 1/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6);

    в) А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).

ГДЗ Геометрия 7 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ Геометрия 8 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ Геометрия 9 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 8 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 9 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по геометрии за 7-9 классы Иченская М.А. можно скачать .

ГДЗ к сборнику заданий по геометрии за 7 класс Ершова А.П. можно скачать .

ГДЗ к сборнику заданий по геометрии за 8 класс Ершова А.П. можно скачать .

ГДЗ к рабочей тетради по геометрии за 9 класс Мищенко Т.М. можно скачать .

ГДЗ к тематическим тестам по геометрии за 7 класс Мищенко Т.М. можно скачать .

ГДЗ к тематическим тестам по геометрии за 8 класс Мищенко Т.М. можно скачать .

ГДЗ к тематическим тестам по геометрии за 9 класс Мищенко Т.М. можно скачать .

ГДЗ к контрольным работам по геометрии за 7 класс Мельникова Н.Б. можно скачать .

ГДЗ к контрольным работам по геометрии за 8 класс Мельникова Н.Б. можно скачать .

ГДЗ к контрольным работам по геометрии за 9 класс Мельникова Н.Б. можно скачать .

ГДЗ к рабочей тетради по геометрии за 9 класс Глазков Ю.А. Егупова М.В. можно скачать .

Родителям нередко приходится слышать жалобы ребёнка о том, что он не понимает тот или иной предмет. Чаще всего это точные науки: алгебра, геометрия, физика. Некоторые родители стараются нанять репетитора, а другие скачивают своим детям ГДЗ по геометрии к учебнику Атанасяна. Конечно, просто бездумное списывание с ответов не сможет привести к положительному результату. Но если школьник будет сверять свои задания, пользоваться изданием для повторения или изучения материала, чтобы на уроке быть уже подготовленным, вы увидите, что знания станут крепче, а предмет понятней. Решебник по геометрии за 7 класс подойдёт также для углубленного изучения, выполнения заданий повышенной сложности. Так как пособие ежегодно подвергается изменениям и дополнениям, родители могут не беспокоиться в правильности всех ответов. Благодаря этой книге школьник может не бояться за получение неудовлетворительных оценок - они останутся в прошлом. А при регулярном изучении предмета и повышении своих знаний вы увидите, как с каждым разом всё легче и легче становится выполнить задание.

Готовые домашние задания к учебнику геометрии для учащихся 7-9 классов, авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина , издательство Просвещение на 2015 - 2016 учебный год.

Ребята, в 7-9 классе вы будете изучать такой интересный предмет как геометрия. Чтобы в дальнейшем не иметь проблем с пониманием этого урока, необходимо с самого начала усердно работать.

В предыдущих классах вы уже познакомились с некоторыми геометрическими фигурами. В этом гуду вы расширите этот минимум познания. Весь курс делится на два раздела: планиметрию и стереометрию. В 7 и 8 классе вы будете рассматривать фигуры на плоскости - это раздел планиметрия. В 9 классе свойства фигур в пространстве - стереометрия.

Часто возникает ситуация, когда не получается исходя из условия сделать правильный рисунок, нарисовать в пространстве все детали и тогда геометрия кажется неподъёмным для вас предметом. Если у вас начнутся такие трудности, тогда рекомендуем использовать наш гдз по геометрии за 7-9 класс Л.С. Атанасяна, который размещён ниже.

ГДЗ Геометрия 7 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ Геометрия 8 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ Геометрия 9 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 8 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 9 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по геометрии за 7-9 классы Иченская М.А. можно скачать .

ГДЗ к сборнику заданий по геометрии за 7 класс Ершова А.П. можно скачать .

ГДЗ к сборнику заданий по геометрии за 8 класс Ершова А.П. можно скачать .

ГДЗ к рабочей тетради по геометрии за 9 класс Мищенко Т.М. можно скачать .

ГДЗ к тематическим тестам по геометрии за 7 класс Мищенко Т.М. можно скачать .

ГДЗ к тематическим тестам по геометрии за 8 класс Мищенко Т.М. можно скачать

1. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.

2. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

3. Какие многоугольники называются равновеликими и какие равносоставленными?

4. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

6. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

7. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

8. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

9. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

11. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников.

12. Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Дополнительные задачи

500. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

501. Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах.

502. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

503. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см 2 , а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см.

504. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

505. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая - b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

506. Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?

507.* Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

508.* Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

509. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

510.* Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.

511. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке О.

    а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
    б) Сравните площади треугольников АВО и СDO.
    в) Докажите, что выполняется равенство ОА ОВ = ОС OD.

512.* Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

513. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

514. Площадь ромба равна 540 см 2 , а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

515. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

516. В треугольнике АВС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC= 15 см. Найдите площадь треугольника АВС.

517. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см.

518. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота - 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

519. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

520. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

521. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD 2 + ВС 2 = АВ 2 + CD 2 .

522. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной АВ = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM.

523. Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

524. Стороны треугольника равны 13 см, 5 см и 12 см. Найдите площадь этого треугольника.

525. Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=13см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

526. В ромбе высота, равная см, составляет 2/3 большей диагонали. Найдите площадь ромба.

527. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

528. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см.

529. Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника.

530. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника АВС, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.

531. Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD в точке М, а диагональ BD - в точке К. Найдите площадь четырёхугольника АВКМ.

532. В треугольнике АВС проведена высота ВН. Докажите, что если:

    а) угол А острый, то ВС 2 = АВ 2 + АС 2 - 2АС АН;
    б) угол А тупой, то ВС 2 = АВ 2 + АС 2 + 2АС АН.

Ответы к задачам

1. Что называется отношением двух отрезков?

2. В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1 ?

3. Дайте определение подобных треугольников.

4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

7. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

8. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины.

10. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.

11. Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

12. Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.

13. Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.

14. Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?

15. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

16. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

17. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

18. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.

Дополнительные задачи

604. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, АВ = 6 см, ВС- 9 см, С А = 10 см. Наибольшая сторона треугольника А 1 В 1 С 1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А 1 В 1 С 1 .

605. Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС 2 = а b, где а и b - основания трапеции.

606. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK: ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.

607. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4: 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

608. На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника АО В с основанием АВ взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что AM < МС.

609. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что Докажите, что AD - биссектриса треугольника АВС.

610. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит сторону АС в отношении 2: 7, считая от вершины А. Найдите стороны отсечённого треугольника, если АВ = 10см, ВС = 18 см, СА = 21,6 см.

611. Докажите, что медиана AM треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.

612. Два шеста АВ и CD разной длины а и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что:

Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD.


Рис. 210

613. Докажите, что треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, если:

а) , где ВМ и В 1 М 1 - медианы треугольников;

б) ∠А = ∠A 1 , , где ВН и В 1 Н 1 - высоты треугольников АВС и A 1 B 1 C 1 .

614. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.

615.* Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и b.

616. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

617. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

618. Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

619. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что .

620. В треугольнике АВС (АВ≠ АС) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

621. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, ∠ACB = α. Найдите площадь трапеции.

622. На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что AK = 1/4 KD. Диагональ АС и отрезок В К пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см 2 .

623. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции.

624. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

625. Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см 2 . Найдите площадь трапеции ABCD.

626. Докажите, что треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, если где AD и A 1 D 1 - биссектрисы треугольников.

Задачи на построение

627. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А1В1С1, подобный треугольнику АВС, площадь которого в два раза больше площади треугольника АВС.

628. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна .

629. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

630. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Ответы к задачам